QUIZ IN LIBERTA', Per ragionare un po' di estrazioni casuali e probabilità

L'assenza di un riscontro positivo alla mia domanda:


(anche di Carlo! che senz'altro sa usare i mezzi informatici (ed anche excel) molto meglio di me... ed avrebbe potuto facilmente riprodurre e verificare la mia tabella... ) mi ha un po' deluso.

Proviamo ad iniziare in questa sezione libera anche al cazzeggio, una nuova discussione, che sarà leggera, come lo sono i quiz, ma che potrebbe essere anche molto "tosta", se ci si sforza di arrivare alle giuste soluzioni.

Se parteciperà qualcuno (anche con domande, dubbi, chiarimenti...purché pertinenti!), la discussione, ed i quiz, potrebbero continuare ... ad libidum...
altrimenti... sarà solo un tentativo ... e si chiude...

--------------------------------

Inizio con questo:

Esaminiamo ad uno ad uno i numeri usciti in 100 colpi successivi di roulette.
Contiamo i numeri che in questo ciclo non sono mai usciti neppure una volta + quelli usciti esattamente una volta + quelli usciti esattamente due volte e chiamiamo questa somma con A.
Sommiamo poi tutti i numeri usciti tre o più volte e chiamiamo questa seconda somma B.
Ovviamente, essendo i numeri della roulette 0 - 1 - 2 - .... - 35 - 36, cioè in totale 37, si avrà A+B = 37

Facciamo una scommessa es. di 100 euro alla pari.
Se la somma A è maggiore della somma B cioè (A>B), vincete voi e io pago 100 euro; in caso contrario, se B>A, vinco io e voi mi pagate 100 euro.

Ci state? (quello che interessa è il perché, cioè se la scommessa è matematicamente vincente o no)

Mi pare un inizio pessimo


Bisogna leggere e cercare di capire quello che è scritto!

Devi contare i NUMERI (che alla roulette sono 37), e metterli insieme sommandoli secondo il numero di volte che escono.
Es.
Zero uscite: i numeri 1-7-8-12-13-17-25-31-35 -------> La somma delle zero uscite è = 9
Ecc. per 1 - 2 - ... uscite nei 100 lanci.

Edited by Nino ….. - 16/7/2014, 14:10

Questo è un po' più facile. Vediamo se arriva una risposta.

Lanciando (ripetutamente) quattro dadi non truccati, ci si aspetta esca un numero maggiore di volte una configurazione con nessun 6, oppure un'altra con un numero dispari di 2 (cioè sui quattro dadi o uno o tre sono il numero 2)

Un momento, Claudio. Non facciamo confusione.

Ricapitoliamo.

Nei problemi aleatori, ove ci sono lanci o estrazioni di qualsiasi cosa (palline, numeri, pezzi colorati, ecc...), quello che interessa misurare con la massima attendibilità e precisione è quello che "inevitabilmente" (se non ci sono trucchi) succederà NON sul singolo evento, ma alla lunga, cioè ripetendo un numero significativo di volte l'esperimento, sempre nelle medesime condizioni.

Capisci perfettamente che, se lanci una volta due dadi, la somma dei due può essere qualsiasi, fra 1+1=2 e 6+6=12.
Però, se chiedessi un tuo pronostico, cioè quale somma saresti disposto a scommettere indovinandola come quella che uscirà più volte (ripetendo i lanci), tu mi diresti giustamente che è il 7.

Questo perché i casi possibili che ci sono per due dadi sono 6*6 = 36, e la somma 7 è quella che può uscire un numero maggiore di volte rispetto alle altre, e precisamente (primo e secondo dado):
1 - 6 ; 6 - 1 ; 2 - 5 ; 5 - 2 ; 3 - 4 ; 4 - 3
cioè 6 volte su 36, che è il 16,7%.

Mentre per le altre somme si ha:
- 2 e 12 = 1/36
- 3 e 11 = 2/36
- 4 e 10 = 3/36
- 5 e 9 = 4/36
- 6 e 8 = 6/36
E il totale di tutte le probabilità che danno come somma da 2 a 12 sono ovviamente 36/36 = 1

Quindi, nel caso dei quiz precedenti....
Cosa "cacchio" può succedere quando si lanciano 4 dadi?
Quanti sono i casi possibili che si possono verificare?
Quanti sono quelli che non hanno nessun dado con il numero 6? E quelli con uno o tre numeri 2 sono di più o di meno?

Nino

Edited by Nino ….. - 16/7/2014, 12:54

la somma dei valori possibili con il lancio di 4 dadi va da un minimo di 4 ad un massimo di 24
le permutazioni con ripetizioni sono in tutto 1296
l'andamento delle somme dei 4 dati possibili è quella in figura dove si vede che il valore più possibile è il 14 con 146 possibilità sui 1296
le possibilità di lanciare 4 dati senza avere mai nessun 6 sono 625 sulle 1296 totali
i lanci con 3 numeri 2 sono 5
i lanci con 2 numeri 2 sono 25
i lanci con 1 numero 2 sono 125
totale se si sommano...non ho controllato se ci sono sovrapposizioni 155 per cui di meno



spero di non aver scritto troppe cazzate.

Carlo

Grazie Carlo... ti confesso che mi stavo un po' demoralizzando... mi stupisce che nell'ambiente di un forum, in cui dovrebbe essere evidente la comune passione per i giochi a scommessa, possa mancare in modo così evidente la volontà della ricerca consapevole agli approfondimenti per le leggi del caso.
Almeno per quanto riguarda le conoscenze minimali dei processi estrazionali casuali, le ritengo essenziali ed alla portata di tutti.

Qui tu parli di permutazioni.
Si tratta più propriamente di disposizioni con ripetizione (di n elementi a k a k, con possibile ripetizione di ogni elemento fino a k volte).
E' ad esempio il modo di calcolare il numero totale delle colonne possibili al totocalcio, che per 14 partite e 3 risultati per partita (1-X-2) sono 3^14 = 4.782.969.


Nel caso dei dadi cubici, quindi a 6 facce e sei numeri per dado, le disposizioni con 4 dadi sono, come dici, 6*6*6*6 = 6^4 = 1.296

Come hai giustamente scritto, la somma più probabile lanciando quattro dadi è 14, che si può realizzare in ben 146 modi sui 1.296 totali. Per conoscere questo valore, in generale, che è la somma che si verifica con maggior frequenza a seguito di un certo numero n di lanci, è sufficiente moltiplicare il valore medio di un dado per n.
E qual è il valore medio?
Semplicemente la media dei sei numeri del dado:
(1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5
Quindi, nel caso del lancio di quattro dadi, sarà 3,5*4 = 14

Come hai detto, il numero dei casi in cui lanciando quattro dadi non esce il 6 sono 625. Infatti, per ogni dado può uscire qualsiasi numero eccetto il 6; quindi, 5*5*5*5 = 5^4 = 625
Questi sono i casi favorevoli all'uscita di nessun 6: quindi, la probabilità che ciò si realizzi con quattro dadi è 625/1.296 = 48,23% circa


E veniamo alla parte cui non hai risposto correttamente.

Il quiz chiedeva di confrontare la probabilità precedente (48,23%) con quella di avere, sempre in 4 lanci, uno o tre segni 2 (è evidente che ho detto segni 2, ma è lo stesso per qualsiasi altro numero).

Esaminiamo prima l'uscita di tre segni 2, che può verificarsi nel seguente modo:
2 - 2 - 2 - X
2 - 2 - X - 2
2 - X - 2 - 2
X - 2 - 2 - 2
Dove con X indico uno qualsiasi degli altri cinque numeri (escluso il 2): quindi, in totale, i casi con tre numeri 2 sono 5*4 = 20

Facciamo lo stesso ragionamento esaminando l'uscita di un segno 2:
2 - X - X - X
X - 2 - X - X
X - X - 2 - X
X - X - X - 2
E i casi ora sono (5*5*5)*4 = 500

Sommiamo: (20 + 500) = 520 sono i casi favorevoli all'uscita con 4 lanci di un dado di uno oppure tre segni 2, e sono pari a: 520/1.296 = 40,12%

In conclusione, se si dovesse scommettere, è senz'altro meglio scegliere l'opzione:
-nessun 6 presente in quattro lanci, che dà maggiori chances di vincita rispetto a quella di uno o tre segni 2.

Nino

grazie delle correzioni...è vero ho usato termini sbagliati, come hai detto correttamente sono Disposizioni con Ripetizione.
Per quanto riguarda il calcolo delle presenze dei numeri 2 ho fatto un errore di calcolo perchè l'ho fatto solo su un dado senza fare la moltiplicazione per 4 :-)

mi dispiace che non posso partecipare attivamente ai post ma per casini a lavoro ho pochissimo tempo libero e nei prossimi mesi sarà ancora meno....in vista c'è una bella trasferta in VIETNAM :-(

Carlo

A noi (ah...ah..ah... ) piacerebbe proporre tante domande e quiz, ma noi (a ri ah.. ah.. ah... ) riteniamo che in questo forum sarebbero in pochi a cercare di risolverli ( )
Ci (ah... ah... ) gratifica vedere che in questa sezione si soffermano, probabilmente interessati, molti visitatori occasionali, ma non essendo utenti iscritti, non possono intervenire attivamente.
Come invece potrebbero farlo (e non lo fanno ) gli altri, che stanno spesso a visualizzare la home page o a porsi interrogativi risibili in chat....

Questa è la soluzione di questo quiz:

Esaminiamo ad uno ad uno i numeri usciti in 100 colpi successivi di roulette.
Contiamo i numeri che in questo ciclo non sono mai usciti neppure una volta + quelli usciti esattamente una volta + quelli usciti esattamente due volte e chiamiamo questa somma con A.
Sommiamo poi tutti i numeri usciti tre o più volte e chiamiamo questa seconda somma B.
Ovviamente, essendo i numeri della roulette 0 - 1 - 2 - .... - 35 - 36, cioè in totale 37, si avrà A+B = 37

Facciamo una scommessa es. di 100 euro alla pari.
Se la somma A è maggiore della somma B cioè (A>B), vincete voi e io pago 100 euro; in caso contrario, se B>A, vinco io e voi mi pagate 100 euro.

Ci state?

In un colpo alla roulette, qual è la probabilità che esca un numero prefissato (scelto a priori), quello che tu vuoi e ti piacerebbe che esca?
Ma è uno su 37 (1/37)

E allora, qual è la probabilità che esca uno degli altri 36? Ma è 36/37....

Bene.
Lo stesso discorso vale per tutti i lanci successivi, poichè I NUMERI NON HANNO MEMORIA E LE STATISTICHE IN TAL SENSO SONO SOLO FESSERIE PER POVERI DI SPIRITO, siano o meno acculturati .

Se ne deduce che in 100 lanci indipendenti, la probabilità che un numero non venga mai estratto alla roulette è = (36/37)^100 = 6,4577% (circa una volta su 15,5 prove di 100 colpi)
che, per 37 numeri, corrisponde a circa 2,31 numeri "vergini" al termine dei 100 colpi.

Vediamo ora qual è la probabilità che un numero esca in 100 colpi ESATTAMENTE una volta.
Perché ciò si verifichi, per 99 volte deve uscire uno degli altri 36 numeri e, non importa in quale posizione (primo, secondo, ..., decimo, ..., novantesimo, ecc...)una volta sola deve uscire il tuo numero.
Di conseguenza, questa probabilità sarà:
C(100,1) * p^1 * q^99
dove C rappresenta il coefficiente binomiale, cioè le combinazioni di n=100 lanci presi k=1 elementi per volta, e vale 100!/(1!*(100-1)!) = 100
p è la probabilità favorevole = 1/37 ( che va elevata al numero di volte che si verifica, cioè = 1)
q è la probabilità contraria = 36/37 (che va elevata al numero di volte che si verificano gli altri numeri, cioè = 99)

Applicando la formula:
p(_numeri con 1 uscita) = 100*1/37*(36/37)^99 = 17,938% (cioè una volta su 5,57)
che, per 37 numeri, corrisponde a circa 6,64 numeri con esattamente una uscita

Facciamo lo stesso calcolo per i numeri che in 100 colpi di roulette escono esattamente due volte:
p(_numeri con 2 uscite) = C(100,2) * p^2 * q^98 = 24,665% (cioè una volta ogni 4,05)
che, per i 37 numeri, sono circa 9,13 numeri con esattamente due uscite

Complessivamente, abbiamo quindi scoperto che la probabilità di avere in 100 colpi alla roulette o zero o uno o due numeri che escono fra i 37 è pari a : 6,4577 + 17,938 + 24,665 = 49,061% circa delle volte, che è un po' meno del 50%. Quindi, i numeri che escono tre o più volte hanno una probabilità leggermente superiore al 50% (50,94%) e la scommessa vincente è quella di somma B:
18,848 numeri mediamente tre o più uscite contro i 18,152 numeri con 0 - 1 - 2 uscite.

In conclusione, se accettate la scommessa originale e puntate su A, alla lunga siete destinati a perdere (anche se il gioco è abbastanza equo).

Nino

Edited by Nino ….. - 21/7/2014, 16:45

Avete mai giocato a poker?

Nel poker classico, il mazzo è di 32 carte (sono presenti 7 - 8 - 9 - 10 - J - Q - K - A), i giocatori sono 4 e ciascuno di essi riceve 5 carte.
Qual è la probabilità, cioè ogni quante volte ci si aspetta di essere serviti con un TRIS (senza il full), alla distribuzione delle carte?

Nessun vizioso che gioca a poker?

O sarà mica idiosincrasia per i giochi di "abilità", perché non sono "democratici", come invece è il lotto (e i suoi derivati); i quali, quanto a possibilità di vincere (meglio, ... di perdere ), riservano lo stesso identico trattamento e nella stessa proporzione a tutti i partecipanti, siano essi un Einstein o lo scemo del villaggio?...

La soluzione del quiz sul poker in seguito, sperando sempre in qualche intervento; per adesso, propongo quest'altro:

In una lotteria (tipo superenalotto) vengono estratti 6 numeri su un totale di N numeri.

Qual è il minimo valore di N per cui la probabilità che nella sestina estratta ci siano 2 numeri consecutivi, sia inferiore al 50%?


Un grosso aiuto per chi vuole cimentarsi in questo quiz:
Esaminiamo per semplicità gruppi più piccoli delle sestine.

Ad es. le coppie:
Sia n=6
I casi totali sono: Comb(6,2) = 15
Di questi, quelli con numeri non consecutivi sono 10:
1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-4, 2-5, 2-6, 3-5, 3-6, 4-6
pari a : Comb(5,2)

Vediamo un esempio con i terni:
Sia n=6
I casi totali sono: Comb(6,3) = 20
Di questi, quelli con numeri non consecutivi sono 4:
1-3-5, 1-3-6, 1-4-6, 2-4-6
pari a : Comb(4,3)

Si scopre (proseguendo con gli esempi) che se k indica il numero di ogni aggregato (2 per le coppie, 3 per le terne, ...., 6 per le sestine) e n il numero totale dei numeri presenti, i casi totali possibili sono:
C = Comb(n,k)

mentre i casi senza consecutività sono:
Co = Comb(n-k+1,k)

Nel caso del quiz (sestine), si ha:
C = Comb(n,6)
Co = Comb(n-5,6)

Si tratta a questo punto di trovare il valore minimo n tale che il rapporto Co/C assuma valore >0,5

Calcoliamo passo per passo la probabilità di avere un tris servito.

- Prima carta: ovviamente, visto che una carta te la devono dare, può essere una qualsiasi delle 32 presenti nel mazzo.
La sua probabilità è una certezza, cioè 32/32 = 1

- Seconda carta: supponiamo che con la carta precedente si faccia una coppia. Nel mazzo, sulle rimanenti 31 carte, ci sono tre carte uguali alla prima che si è ricevuto, quindi questa probabilità è = 3/31.

- Terza carta: dobbiamo ora chiudere il tris. Sono rimaste nel mazzo di 30 carte, due carte uguali alle due che già si hanno in mano e quindi la probabilità è 2/30.

Ricapitoliamo:
probabilità di avere un tris qualsiasi con 3 carte (su 32) = 32/32 * 3/31 * 2/30 = 1/155

Ma le carte che vengono distribuite sono 5 (non 3) e quindi il tris potrebbe essere ottenuto anche con le altre 2 carte. In pratica, ci sono 10 possibilità, cioè queste:
C(5,3) = 5!/(3!*2!) = 5*4*3*2*1/(3*2*1*2*1) = 10

e la probabilità per il tris diventa = 10 * 1/155 = 2/31

Dobbiamo ora considerare che le altre due carte devono essere scelte la prima fra 28 carte (su 29), altrimenti si farebbe il poker! e l'ultima fra 24 carte (sulle rimanenti 28), onde escludere di fare il full.

In definitiva, la probabilità di avere servito un tris con 5 carte è :

2/31 * 28/29 * 24/28 = 48/899 = 5,339266% circa una volta ogni 18 - 19 volte che si danno le carte.