QUIZ IN LIBERTA', Per ragionare un po' di estrazioni casuali e probabilità

Ciao Rosario, il tuo interrogativo è legittimo e non è assolutamente una castroneria.

In effetti, potrebbe sembrare significativo e da prendere in considerazione il fatto che le carte vengano distribuite una alla volta e quindi allo stesso giocatore arrivano in modo discontinuo e l'ultima carta (la quinta) venga data quando manca già mezzo mazzo rispetto all'inizio.

In realtà, però, questo NON incide assolutamente dal punto di vista pratico (nè matematico, per la probabilità di realizzare o meno il tris).

Supponi infatti di dividere un mazzo di carte (es. le 40 della scopa) in due o più mazzetti che dividi fra i partecipanti, e poi di scegliere e scoprire una carta da uno dei mazzetti che sono stati fatti (e che è il tuo): la tua probabilità di indovinarla è SEMPRE di 1 diviso il numero TOTALE delle carte ( cioè 1/40), anche se il tuo mazzetto finale era solo, ad esempio di 10 carte.

Lo stesso è per la distribuzione delle carte nel quiz del tris al poker: non importa (rispetto alla frequenza favorevole del tris, cioè alla probabilità, cambia solo la sequenza con cui realizzi il tris) se i giocatori sono 4 e se la seconda carta che arriva al primo giocatore esce da un mazzo che ne contiene solo 28 (come dici tu, perché alcune altre sono state date agli altri giocatori); la probabilità di fare la coppia rimane sempre di 3 su 31, perché le carte date agli altri giocatori non sono conosciute ed è come se fossero rimaste le ultime sotto il mazzo, di prove con mischiate ed alzate differenti.

Per trovare qualche soluzione a questo quiz (fino a quella ottimale) non servono conoscenze di calcolo combinatorio, basta essere dotati di un po' di arguzia e sapere un minimo di sistemistica...

Nino e la moglie Nina sono appassionati giocatori d'azzardo e decidono di andare a giocare in un casinò clandestino gestito dal mafioso Calogero, il quale, guardacaso, è appassionato di enigmi logico-matematici.

Quando il Nino e la Nina gli si presentano, Calogero propone loro di scommettere sui risultati dei lanci di una monetina.
Ma il modo di giocare è particolare.
Ci saranno 16 lanci della moneta e verranno fatti davanti alla Nina, che esaminerà la sequenza (ad es. potrebbe essere questa T-T-C-T-C-C-T-C-T-T-T-T-C-C-T-C o un'altra qualsiasi), mentre il Nino sarà in un'altra stanza e non vedrà nulla.
Alla fine di questi 16 lanci la Nina non potrà dire nulla, ma avrà solo la possibilità di scrivere un codice binario di 8 cifre o lettere (cioè 8 bit di seguito, es. 1-0-0-1-1-0-1-0) che verrà poi fatto vedere al Nino.
A questo punto il Nino, dopo averlo esaminato, sarà obbligato a scommettere sull'esito (dei 16 lanci precedenti visti dalla Nina), cioè dovrà indicare la sequenza di teste e croci (T-C) dei singoli lanci (che gli verranno poi ripetuti uno per uno su una videocassetta per vedere se indovina o no ad ogni lancio); insomma con un byte (cioè 8 informazioni che gli ha passato la Nina, dovrà cercare di indovinare l'esito del maggior numero possibile di lanci della moneta (sui 16 fatti).

Di volta in volta se il Nino indovina l'esito di un lancio gli verranno dati 1000 euro, se invece sbaglia ne dovrà sborsare 4000.

Al Nino all'inizio le condizioni paiono molto inique e il gioco svantaggioso e inevitabilmente perdente.

Ma poi, riflette...e studiando una adeguata strategia e mettendosi d'accordo con la moglie si rende conto che può migliorare notevolmente le proprie prospettive di vincita media (fino addirittura a risultare sicuramente vincente! e a sbancare il casinò.). Insomma la scommessa 1000 se indovina un lancio - meno 4000 se lo sbaglia è VINCENTE!

Domanda: quale metodo garantisce ai Nini la vincita media più alta? (ovviamente il Nino e la Nina si metteranno d'accordo prima sul codice che dovranno utilizzare per indovinare il più possibile, qualunque sia poi la sequenza di 16 fra teste e croci che usciranno.)
Nessun trucco, please!

Solo una breve conclusione di questo quiz.
Proposto anche per stimolare l'approfondimento a coloro che utilizzano (per lo più senza capire se sono convenienti o no) condizionamenti che escludono ad esempio la consecutività dei numeri.

Dicevo:

Si scopre (proseguendo con gli esempi) che se k indica il numero di ogni aggregato (2 per le coppie, 3 per le terne, ...., 6 per le sestine) e n il numero totale dei numeri presenti, i casi totali possibili sono:
C = Comb(n,k)

mentre i casi senza consecutività sono:
Co = Comb(n-k+1,k)

Nel caso del quiz (sestine), si ha:
C = Comb(n,6)
Co = Comb(n-5,6)

Si tratta a questo punto di trovare il valore minimo n tale che il rapporto Co/C assuma valore >0,5


Con le due formule precedenti e ricordando che Comb(n,k) = n!/(k!*(n-k)!), si ha:

Co/C = (n-5)!/((n-5-6)!(6!) / (n!/((n-6)!6!)) =
(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)/(n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4))

La soglia del 50% passa fra n=48 (0,496797...) e n=49 (0,504801...)
(Il risultato si può ottenere facilmente con excel per tentativi, provando vari n, finché il risultato passa da <0,5 a >0,5)

In pratica: per n = 48 sei di qua (del 50%); e per n = 49 sei di là (per quanto riguarda la consecutività di almeno due numeri su sei)!

Mizzica.... che invasione di sistemisti....

Dubbio amletico: qui ce n'è di più o di meno?
http://lottoluca.blogspot.it/

Però, anche qui si parla di probabilità:
http://ceifan.org/leggi_stupidita.pdf
Buona lettura!
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Senza interventi.... neppure elementari, come la soluzione che prevede di accordarsi e trasmettere ad es. semplicemente il segno (Testa o Croce) prevalente nei primi 9 lanci e poi scrivere tali e quali gli esiti degli ultimi 7 lanci: con questa tecnica, il caso peggiore sarebbe di indovinare 5 + 7 = 12 segni o bit (qualunque sia la sequenza dei 16 lanci).
(Ma si può fare molto meglio)
la discussione finisce qui.

Supponiamo che 12 iscritti a questo forum pronostichino (a caso, senza lasciarsi influenzare dalle inutili statistiche relative alle estrazioni precedenti) un numero fra i 90 del lotto (da giocare ad es. sulla ruota di Milano).
Cioè ciascuno dei 12, senza sapere cosa fanno gli altri, indica un numero compreso fra 1 e 90; alla fine si esaminano i 12 numeri.

E' più probabile (cioè si verificherà più del 50% delle volte) che i numeri pronosticati siano tutti e 12 diversi, oppure che ci siano almeno due numeri uguali?

E qual è la probabilità che esattamente due partecipanti indichino lo stesso numero?

Nino

Ciao Gianni,
purtroppo non si tratta di un'esponenziale, per cui non è possibile applicare la costante di decadimento.

Il 70% di possibilità di avere due numeri identici con 12 pronostici (su 90 numeri) è un po' troppo...

Il problema relativamente alla prima domanda
E' più probabile (cioè si verificherà più del 50% delle volte) che i numeri pronosticati siano tutti e 12 diversi, oppure che ci siano almeno due numeri uguali?
è simile al famoso Paradosso del compleanno:
https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_compleanno