Parliamo di consecutività

Spesso si presenta il problema di calcolare le combinazioni di N numeri in gruppi presi a k per volta, il cui valore come si sa è:

= C(N,k) = N! / [(N-k)! * k!]

cui, per cercare di giocare tanti numeri spendendo un po' di meno, molti spesso impongono la condizione limitante di una consecutività massima (cioè di R<=k esiti consecutivi).

Alla soluzione pratica di questo problema pensano i vari programmi computerizzati e coloro che li usano non si pongono neppure la questione, ne accettano tranquillamente il risultato e l'elenco delle combinazioni visualizzate.
Ma chi ha la curiosità dell'intelligenza potrebbe chiedersi se è possibile e come fare a trovare la stessa soluzione manualmente, con una semplice calcolatrice.

In passato ricordo che avevo riflettuto su questo quesito, risolvendolo facilmente nei casi di nessuna consecutività: più precisamente, quando si tratta di selezionare solo le combinazioni che presentano 1 come massima consecutività, cioè una distanza minima di 2 fra un numero e quello che nel gruppo k lo segue quando nella colonna è ordinato in ordine crescente.

Più ostica mi era invece parsa la ricerca di una formula adatta nei casi in cui la consecutività fosse maggiore (da 2 in su); tanto che avevo abbandonato il problema.

Problema che è riaffiorato a seguito di una richiesta di un utente del forum matematicamente.it.

Per il momento limitiamoci al caso quasi banale in cui si realizza la mutilazione dei sistemi con l'applicazione della condizione di nessuna consecutività numerica.
In seguito, forse, vedremo di capire qualcosa di più a proposito dell'abbattimento di una consecutività più "realistica" (da 2 in su).

La formula che serve per calcolare il numero delle combinazioni dei sistemi integrali:

V , k . (t=k, M=k)

dove:
V = ampiezza numerica, ossia numeri che compongono il sistema
k = ampiezza di ogni colonna, ossia composizione dei gruppi (10=decine, 9=novine, .... , 2=coppie)

con la condizione di aver filtrato ed eliminato tutte le consecutività, è la seguente (valida per V>2*(k-1))

N_colonne = Combinazione(V-k+1, k) = (V-k+1)! / [(V-2k+1)! * k!]

Esempio:
25 numeri in decine senza consecutività = (25-10+1)! / [(25-20+1)! * 10!] = 16! / (6! * 10!) = 8008 colonne

Come ho detto, non si tratta di sistemi ridotti, ma di integrali condizionati.
Questo significa che, azzeccando la condizione di consecutività nulla, si realizza sempre la vincita piena k (il 10, nel caso delle decine); se invece la condizione non è rispettata e salta, nulla è più garantito.

Nino

Edited by Nino ….. - 17/1/2015, 19:38

CONSECUTIVITA' 2

Una combinazione ha consecutività 2 se all'interno della colonna è contenuta almeno una sequenza di due numeri che sono consecutivi, cioè che differiscono di una unità.

Nell'analisi dei sistemi con consecutività massima 2 (che comprendono quindi anche le combinazioni senza numeri consecutivi), non sono riuscito a trovare una relazione generale che consenta di calcolare il numero delle combinazioni con questa caratteristica, indipendentemente dalla numerosità k di ogni colonna.
Può darsi che una formula semplice esista e che sono io a non conoscerla; e magari potrebbe anche essere reperibile da qualche parte in Internet.
In attesa, dobbiamo per il momento accontentarci di esaminare questo problema separatamente per ognuna delle possibili lunghezze k dei vari sistemi.

Il primo e più semplice dei quali riguarda i sistemi in terzine: è infatti ovvio a tutti che imporre la condizione di consecutività massima 2 a sistemi in coppie è perfettamente inutile, essendo in tal caso impossibile una consecutività superiore.

Va detto che anche per i sistemi in terzine il risparmio colonnare che si realizza con questa condizione è molto esiguo e direi trascurabile.
Le combinazioni che vengono eliminate rispetto allo sviluppo integrale sono infatti:

1 per il sistema con V=3 numeri
2 per il sistema con V=4 numeri
3 per il sistema con V=5 numeri
ecc... ecc...

e corrispondono ai numeri naturali (interi positivi).

Quindi, se dalle combinazioni totali (senza condizioni di consecutività) delle terzine, che come si sa sono ricavabili con la formula:

N_terzine_totali = V!/((V-3)!*3!)

e che sono:

V=3 ----------> N_terzine_totali = 1
V=4 ----------> N_terzine_totali = 4
V=5 ----------> N_terzine_totali = 10
V=6 ----------> N_terzine_totali = 20
V=7 ----------> N_terzine_totali = 35
V=8 ----------> N_terzine_totali = 56
...................

si sottraggono le terzine con consecutività 3, che, come detto prima, sono rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...,rimane lo sviluppo integrale condizionato alla presenza massima di due numeri consecutivi, che, partendo da V=3 numeri in su, è pari alla sequenza:

0, 2, 7, 16, 30, 50, ...

Il calcolo dell'ennesimo elemento di questa sequenza, cioè del numero N di colonne di qualsiasi sistema di V numeri in terzine (k), con la consecutività (R) massima 2 è abbastanza facile e si può eseguire indifferentemente con una di queste formule (valide per V>3):

N_V(k=3,R=2) = 2*Combinazione(V-2,2) + Combinazione (V-2,3) = (V-2)*(V-3) + (V-2)*(V-3)*(V-4)/6

oppure:

N_V(k=3,R=2) = Combinazione(V+2,3) - (V+2)*(V-1) = V*(V+1)*(V+2)/6 - (V+2)*(V-1)

oppure:

N_V(k=3,R=2) = (V+2)*(V-2)*(V-3)/6

Se facciamo il calcolo per il sistema di V=90 numeri, a fronte delle 117.480 terzine integrali incondizionate, otteniamo che con la consecutività massima = 2, rimangono 117.392 terzine, risparmiando quindi solo le 88 terzine aventi consecutività = 3.

Edited by Nino ….. - 17/1/2015, 20:09

Sempre con la consecutività massima 2 passiamo ora ad esaminare i sistemi integrali in quartina.

Nella seguente tabellina è riportato, partendo dal sistema con V=5, il numero delle colonne relativo, rispettivamente, all'incondizionato IN, alla consecutività massima R=2 e, per differenza, al residuo con consecutività minima R=3.

V= .......... 5 .......... 6 .......... 7 .......... 8 ........... 9 ..........
IN ........... 5 .........15 ......... 35 ......... 70 ........126 .........
R2 .......... 1 .......... 6 ......... 19 ......... 45 ......... 90 .........
R>2 ........ 4 .......... 9 ......... 16 ......... 25 ......... 36 ..........

Salta subito all'occhio il dato curioso che il numero delle quartine con consecutività 3 e 4 è rappresentato da quadrati, e precisamente da (V-3)^2

Per calcolare il numero di quartine dei sistemi integrali condizionati alla consecutività massima = 2 si può applicare indifferenteme una di queste due formule (la prima valida per V>6):

N_V(k=4,R=2) = Combinazione(V-3,2) + 3* Combinazione(V-3,3) + Combinazione(V-3,4)

o, se si preferisce:

N_V(k=4,R=2) = V!/[(V-4)! * 4!] - (V-3)^2

Proviamo con V=45:
le quartine integrali sono 148.995, mentre imponendo la consecutività massima 2 rimangono 147231.

Edited by Nino ….. - 17/1/2015, 20:43

Proseguiamo con le cinquine.

Come al solito, partendo qui da V=7 numeri, riportiamo quante sono le colonne necessarie, rispettivamente alla realizzazione dell'incondizionato IN, allo stesso con la consecutività massima R=2 e, per differenza, a quello che resta con consecutività minima R=3.

V= .......... 7 .......... 8 .......... 9 .......... 10 .......... 11 ..........
IN ...........21 .........56 .........126 .........252 ........462 .........
R2 .......... 3 ..........16 ......... 51 .........126 .........266 .........
R>2 ........18 ..........40 ......... 75 .........126 .........196 ..........

Osservando la sequenza che indica il numero delle cinquine aventi 3 - 4 - 5 consecutività si nota che può essere calcolata con la formula (valida per V>4):

N_V (k=5,R>2) = (V-3) * (V-4)^2 /2

Per calcolare il numero di cinquine dei sistemi integrali condizionati alla consecutività massima = 2 si può applicare indifferenteme una di queste tre formule (valide per V>8):

N_V(k=5,R=2) = 3*Combinazione(V-4,3) + 4* Combinazione(V-4,4) + Combinazione(V-4,5)

o, se si preferisce:

N_V(k=5,R=2) = Combinazione(V-3,4) * (V+8)/5

o infine:

N_V(k=5,R=2) = V!/[(V-5)! * 5!] - (V-3) * (V-4) * (V-4) /2

Proviamo con V=30:
le cinquine integrali sono 142.506, mentre imponendo la consecutività massima 2 rimangono 133.380.

Edited by Nino ….. - 17/1/2015, 20:48

Il calcolo del numero di colonne che compongono i sistemi integrali con la condizione di 1 - 2 segni consecutivi diventa un po' più complesso dalle sestine in su.
Mi limito quindi ad indicare le formule.

SESTINE

N_8 = 1 ; N_9 = 10 ; N_10 = 45
Per V> 10 valgono le formule:

N_V(k=6,R=2) = Combinazione(V-5,3) + 6*Combinazione(V-5,4) + 5*Combinazione(V-5,5) + Combinazione(V-5,6)

oppure:

N_V(k=6,R=2) = Combinazione(V-5,3) * [(V-5)^3 + 18*(V-5)^2 + 17*(V-5) - 120] / 120

SETTINE

N_10 = 4 ; N_11 = 30 ; N_12 = 126 ; N_13 = 393
Per V> 12 valgono le formule:

N_V(k=7,R=2) = 4*Combinazione(V-6,4) + 10*Combinazione(V-6,5) + 6*Combinazione(V-6,6) + Combinazione(V-6,7)

oppure:

N_V(k=7,R=2) = Combinazione(V-6,4) * [(V-6)^3 + 27*(V-6)^2 + 116*(V-6) - 120] / 210

OTTINE

N_11 = 1 ; N_12 = 15 ; N_13 = 90 ; N_14 = 357 ; N_15 = 1107
Per V> 14 valgono le formule:

N_V(k=8,R=2) = Combinazione(V-7,4) + 10*Combinazione(V-7,5) + 15*Combinazione(V-7,6) + 7*Combinazione(V-7,7) + Combinazione(V-7,8)

oppure:

N_V(k=8,R=2) = Combinazione(V-6,5) * [(V-7)^2 + 23*(V-7) - 84] *(V + 3) / 336

Concludo il calcolo dello sviluppo colonnare relativo ai sistemi con k=9 e k=10 con la condizione di un massimo di 2 numeri consecutivi.

NOVINE

N_13 = 5 ; N_14 = 50 ; N_15 = 266 ; N_16 = 1016
per V>16 applicare la formula:

N_V(k=9,R=2) = 5*Combinazione(V-8,5) + 20*Combinazione(V-8,6) + 21*Combinazione(V-8,7) + 8*Combinazione(V-8,8) + Combinazione(V-8,9)

DECINE

N_14 = 1 ; N_15 = 21 ; N_16 = 161 ; N_17 = 784 ; N_18 = 2907
per V>18 applicare la formula:

N_V(k=10,R=2) = Combinazione(V-9,5) + 15*Combinazione(V-9,6) + 35*Combinazione(V-9,7) + 28*Combinazione(V-9,8) + 9*Combinazione(V-9,9) + Combinazione(V-9,10)

La condizione R=2 fa risparmiare su tutti i 90 numeri qualcosina di più di 467 miliardi di decine.
Sembrano tante, ma è solo l'8,1646% in meno dell'integrale.
Penso proprio che non ne valga la pena....

Nino

Edited by Moreno sistem - 18/1/2015, 12:42

CONSECUTIVITA' MASSIMA R=3

Per quanto riguarda la condizione relativa alla consecutività massima R=3, mi limiterò ad esaminare i sistemi integrali in quartina, cinquina e sestina (k=4 ; k=5 ; k=6)

Infatti, come vedremo, la situazione che si presenta con questa consecutività e le formule da applicare per calcolarne le combinazioni sono desumibili dai casi con R=2, con la semplice avvertenza di diminuire di 1 il valore k dei numeri di ogni colonna.

Quartine

Come era stato fatto per la consecutività R=2, prepariamo la stessa tabellina e, partendo da V=4 numeri, riportiamo il numero delle colonne relativo, rispettivamente, all'incondizionato IN, alla consecutività massima R=3 e, per differenza, alle quartine che hanno consecutività R=4.

V= .......... 4 .......... 5 .......... 6 .......... 7 ........... 8 ...........9 .......
IN ...........1 .......... 5 ..........15 ......... 35 .......... 70 .........126 .......
R3 .......... 0 .......... 3 ..........12 ..........31 ...........65 .........120 .......
R>3 ......... 1 .......... 2 .......... 3 .......... 4 ........... 5 .......... 6 .......

Ci si accorge che, come era stato notato per le terzine a consecutività 3, anche per le quartine a consecutività 4, le combinazioni che vengono eliminate rispetto allo sviluppo integrale sono:

1 per il sistema con V=4 numeri
2 per il sistema con V=5 numeri
3 per il sistema con V=6 numeri
ecc... ecc.

Cioè (V-3), mentre per k=3 e R=2 erano (V-2).

Per calcolare il numero delle quartine con consecutività massima = 3 si può applicare una delle seguenti formule (per V>4):

N_V(k=4,R=3) = Combinazione(V-3,2) + Combinazione(V-2,3) + Combinazione(V-1,4)

oppure:

N_V(k=4,R=3) = V!/[(V-4)!*4!] - (V-3)


Cinquine

Questa, partendo da V=5, è la solita tabellina relativa alle cinquine:

V= .......... 5 .......... 6 .......... 7 .......... 8 ........... 9 ...........10 .......
IN ...........1 .......... 6 ..........21 ......... 56 ..........126 ......... 252 .......
R3 .......... 0 .......... 2 ..........12 ..........40 ..........101 ......... 216 .......
R>3 ......... 1 .......... 4 .......... 9 ..........16 ...........25 ...........36 .......

Si ripete anche qui quello che si era visto a proposito delle quartine con consecutività 3 e 4 (per le quali il numero delle colonne era rappresentato da quadrati, e precisamente da (V-3)^2).
In questo caso, è invece (V-4)^2

Per calcolare il numero delle cinquine con consecutività massima = 3 si può applicare una delle seguenti formule:

(per V>5):

N_V(k=5,R=3) = Combinazione(V-4,2) * [(V-4)^3 + 11*(V-4)^2 + 46*(V-4) - 24] / 60

oppure:

(per V>8):

N_V(k=5,R=3) = 2*Combinazione(V-4,2) + 6*Combinazione(V-4,3) + 4*Combinazione(V-4,4) + Combinazione(V-4,5)

oppure:

(per V>4):

N_V(k=5,R=3) = V!/[(V-5)!*5!] - (V-4)^2


Sestine

Questa, partendo da V=6, è la solita tabellina relativa alle sestine:

V= .......... 6 .......... 7 .......... 8 .......... 9 ...........10 ...........11 .......
IN ...........1 .......... 7 ..........28 ......... 84 ..........210 ......... 462 .......
R3 .......... 0 .......... 1 ..........10 ..........44 ..........135 ......... 336 .......
R>3 ......... 1 .......... 6 ..........18 ..........40 ...........75 ..........126 .......

Le combinazioni con 4 o più consecutività sono le stesse che avevano 3 o più consecutività con le cinquine;
in quel caso erano (V-3)*(V-4)^2/2, ora con le sestine sono = (V-4)*(V-5)^2/2

Per calcolare il numero delle sestine con consecutività massima = 3 si può applicare una delle seguenti formule:

(per V>6):

N_V(k=6,R=3) = Combinazione(V-4,3) * [(V-5)^3 + 15*(V-5)^2 + 86*(V-5) - 120] / 120

oppure:

(per V>10):

N_V(k=6,R=3) = Combinazione(V-5,2) + 7*Combinazione(V-5,3) + 10*Combinazione(V-5,4) + 5*Combinazione(V-5,5) + Combinazione(V-5,6)

oppure:

(per V>5):

N_V(k=6,R=3) = V!/[(V-6)!*6!] - (V-4)*(V-5)*(V-5) / 2


(Fine dell'argomento, almeno per adesso )
Nino

Riprendendo in parte quanto scrisse in proposito Alessandro Jurcovich, ripropongo un lungo commento di carattere generale sulla terminologia: consecutività ed interruzioni di una sequenza

Il termine "successione di segni" viene spesso usato per classificare la struttura di una serie di lanci di una moneta.
Già da quando mi occupavo di sistemistica totocalcio, ed iniziarono a fiorire i primi programmi per l'elaborazione dei sistemi computerizzati condizionati e ridotti (ahimè..., ormai oltre 30 anni fa!) ci trovammo ad analizzare simili situazioni e a studiarle concettualmente anche dal punto di vista terminologico.
Il primo criterio statistico affrontato, e ancora adesso utilizzato anche a sproposito, è quello della "consecutività", che nasce dalla considerazione che un segno "si ripete" o "non si ripete" nell'ambito di una stessa sequenza, senza o con interruzione di altri segni diversi.
La condizione lascia quindi la facoltà di imporre che la presenza consecutiva del segno prestabilito vada da una misura minima ad un'altra massima; con questa decisione si intende escludere ovviamente tutte le combinazioni contenenti una quantità di segni uguali consecutivi al di fuori dei limiti (range) che si ritengono accettabili.

Un perfezionamento di questo criterio è la consecutività differenziata, che è una multi-condizione subordinata e proporzionata alla quantità di segni messi in gioco.
Simile alla "consecutività" è la "permanenza", che indica il numero somma delle ripetizioni dello stesso segno che compaiono nella serie.
Esattamente contrario al numero di permanenze è il numero di "interruzioni" (I), che conteggiano quante volte si verifica una qualsiasi variazione di segno; c'è da sottolineare che tra questo termine e la "successione" (S), che è un termine estraneo alla sistemistica ludica, esiste la relazione:

S = I + 1

Se esaminiamo ad es. la serie: TTTCCTCCTC
abbiamo:
-Numero degli eventi o lanci N = 10
-Numero presenze teste T = 5
-Numero presenze croci C = 5
-Consecutività delle teste: da minimo 1 a massimo 3
-Consecutività delle croci: da minimo 1 a massimo 2
-Permanenze P = 4
-Interruzioni I = 5

Come si può notare, valgono sempre le uguaglianze:

P + I = N - 1 e P + S = N

Inoltre, si evince facilmente che le interruzioni possono variare da 0 a (N-1), mentre le successioni vanno da 1 a N.

La formula generale per calcolare il numero di combinazioni in funzione del numero di interruzioni è:

C_I = Comb(N-1;I)*V*(V-1)^I

dove V = tipo di varianti omogenee (2 nel lancio di una moneta; 3 per le triple totocalcio; 4 per i semi di un mazzo di carte; 6 per i numeri di un dado; ecc...)

Ad es., quante sono le sequenze possibili con 10 lanci di un dado e con 3 interruzioni?
Abbiamo: N=10 I=3 V=6
Quindi: C_I= 84*6*5^3 = 63.000


Test su un campione di dati

Quando si esamina una sequenza temporale limitata, è ovviamente legittimo vederci un'alternanza o una permanenza, anche se talvolta le conclusioni sono umorali e soggettive.
Ma è ragionevole, anche in un trend, identificare un andamento deterministico, e pretendere quindi che la tendenza prosegua nell'estrapolazione della serie, oppure si tratta solo di un nostro desiderio, (il campione può non essere significativo per determinare la prosecuzione della sequenza con le stesse caratteristiche), e quindi è solo uno scherzo della casualità?

Nei fenomeni fisici l'osservazione sperimentale può suggerire modelli di previsione banali, ma significativamente attendibili; ad es., in meteorologia è favorito chi afferma "Domani il clima sarà più o meno come oggi", rispetto a chi dice il contrario, o sceglie a caso.

Anche gli indici di borsa possono essere testati per verificare se esiste o no un vantaggio nella scelta di un modello di permanenza del rendimento (domani salirà o scenderà come è avvenuto oggi) o di alternanza (se oggi l'indice segna +, domani sarà - e viceversa).
Confrontandoli con serie di dati creati casualmente, che, appunto per la loro natura, non hanno alcuna giustificazione fisica e quindi non possono fornire indicazioni utili sull'andamento futuro.
A questo proposito, anche nel caso si osservassero sequenze aggregate con sorprendente regolarità, non esiste certezza (ma solo ragionevole fiducia con una determinata probabilità) che si tratta di eventi in cui possa essere esclusa la casualità.
Anche per queste due sequenze
TTTTTTTCCCTTTCC o CCCCCTTTTTTCCCC
non si può negare con sicurezza la loro casualità: infatti, a priori, nei 15 lanci ripetuti di una moneta equilibrata, non esistono sequenze privilegiate, ciascuno dei 2^15 casi possibili è ugualmente probabile.
Una probabilità di verificarsi pari a 3 centomillesimi (com'è quella di specie) è obiettivamente piccola, ma non nulla; e in natura, ma anche nelle normali attività e vita del mondo reale si assiste spesso ad avvenimenti similmente rari (ad esempio la vincita ripetuta del 6 al superenalotto nella stessa ricevitoria di un paesino sperduto).

Anch'io, epidermicamente (se dovessi scommetterci denaro!), non ritengo che le due sequenze riportate prima ed altre simili, siano casuali; da questa convinzione non è in ogni caso automatico dedurre ciò che veramente interessa, cioè che la sequenza possa proseguire in futuro con le stesse modalità, e quindi indovinare (o prevedere con probabilità superiore a 0,5) l'esito dei lanci successivi.

" La complessità di Kolmogorov è una misura di casualità (randomness)
Un’idea interessante, ma ad oggi non precisamente formulata, è quella di misurare la
complessità con la più concisa descrizione delle “strutture regolari” del problema (entità):

• Sono semplici i problemi (o le entità) caratterizzati da estrema regolarità o casualità,
perché c’è poco o nulla da descrivere

Esempio: le immagini uniformi o casuali







• Sono complessi i problemi (o le entità) caratterizzati da strutture regolari “lunghe” da descrivere
Esempio: le immagini frattali "

!!!!!

Buono il broccolo romano o cavolfiore pagoda....